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매개변수 변환법은 비제차 미분방정식을 풀이하기 위해 고안된 방법이다. 미정계수법은 비제차 항이 다항 함수, 코사인, 사인함수, 지수함수인 경우에만 적용할 수 있었지만 매개변수 변환법은 그 활용도가 더 넓다고 할 수 있다.


매개변수 변환법
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매개변수 변환법 – 공돌이의 수학정리노트

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정의[편집]

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[미분방정식] 15. 매개변수 변환법 – Solution by Variation of Parameters

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변수변환법(매개 변수 변환법) :: 3DMP

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Variation of Parameters(매개변수 변환법)Ch2.10

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공돌이의 수학정리노트

Prerequisites

이 포스팅을 이해하기 위해선 아래의 내용에 대해 알고 오시는 것이 좋습니다.

매개변수 변환법 소개

매개변수 변환법은 비제차 미분방정식을 풀이하기 위해 고안된 방법이다.

미정계수법은 비제차 항이 다항 함수, 코사인, 사인함수, 지수함수인 경우에만 적용할 수 있었지만 매개변수 변환법은 그 활용도가 더 넓다고 할 수 있다.

아래와 같은 2계 비제차 미분방정식을 생각해보자.

\[x”+p(t)x’+q(t)x=r(t)\]

위와 같은 2계 비제차 미분방정식의 해는 다음과 같은데,

\[x(t) = x_h(t) + x_p(t)\]

$x_c(t)$의 기저 함수는 두 개이므로 조금 더 풀어쓰면 다음과 같다.

\[x(t)=c_1x_1(t)+c_2x_2(t)+x_p(t)\]

여기서 매개변수 변환법의 아이디어는 Reduction of order 편에서 본 것 처럼 $x_h$의 기저 $x_1$과 $x_2$를 이용해서 $x_p$를 구해낼 수는 없을까 라는 것이다.

다시 말해 아래와 같이

\[x_p(t) = u(t)x_1(t) + v(t)x_2(t)\]

와 같이 $x_p$를 설정하면 $x_1(t)$와 $x_2(t)$에 모두 독립적인 적절한 $x_p(t)$를 얻어낼 수 있을 것이라는 아이디어이다.

여기서 $x_p(t)$를 잘 보면 $x_h(t)$의 $c_1$과 $c_2$를 $u$, $v$로 바꾼 것임을 알 수 있다. 다시 말해, parameter를 바꾼 것이라고 할 수 있고 이런 맥락에서 매개변수 변환법(variation of parameters)라는 method의 이름이 부여된 것이락 볼 수 있다.

아무튼 여기서 중요한 것은 $x_p(t)$ 역시도 식(1)을 만족하는 solution이라는 것이다. 따라서 $x_p$를 식 (1)에 대입해보자.

그러기 위해 1차 미분과 2차 미분을 구해보면,

\[x_p=ux_1+vx_2\] \[x_p’=u’x_1+ux_1’+v’x_2+vx_2’\]

여기서 $x_p’‘$을 구하기 전에 아래와 같은 가정을 덧붙여보자.

\[u’x_1+v’x_2 = 0\]

이 가정은 미분 식을 간단하게 만들어줄 뿐만 아니라 솔루션을 구하는데 매우 핵심적인 역할을 한다. 이 가정은 뒤에 있을 Cramer’s rule에 적용하기 위한 연립 방정식으로 연결되기 때문이다. 우리는 적절한 $u$, $v$를 찾는 것이 목적이기 때문에 이런 가정까지도 만족하는 $u$와 $v$를 찾기만 하면 되는 것이다.

이런 가정을 가지고 $x_p’‘$을 구하면,

\[x_p” = u’x_1’+ux_1”+v’x_2’+vx_2”\]

임을 알 수 있다.

따라서, 원래의 미분방정식에 $x_p’’$, $x_p’$, $x_p$를 대입하면,

\[x_p”+p(t)x_p’+q(t)x_p=r(t)\] \[=\Big\lbrace u’x_1’+ux_1”+v’x_2’+vx_2”\Big\rbrace+p(t)\Big\lbrace (ux_1’+vx_2′)\Big\rbrace + q(t)(ux_1+vx_2) = r(t)\]

이 식을 $u$와 $v$에 관해 다시 정리해주면,

\[\Rightarrow u\Big\lbrace x_1”+p(t)x_1’+q(t)x_1 \Big\rbrace \\ \\ \quad\quad + v\Big\lbrace x_2”+p(t)x_2’+q(t)x_2 \Big\rbrace \\ \\ \quad\quad\quad + u’x_1’+v’x_2′ = r(t)\]

이다. 여기서 중괄호($\lbrace\rbrace$) 안에 있는 방정식은 모두 제차미분방정식의 해를 가지고 써준 것이므로 0이다. 따라서 위의 식은

\[\Rightarrow u’x_1’+v’x_2’=r(t)\]

와 같이 쓸 수 있다.

여기서 식 (7)과 식 (12)를 묶어 다음과 같이 표현해보자.

\[\begin{cases}u’x_1+v’x_2= 0 \\ \\ u’x_1’+v’x_2’=r(t)\end{cases}\]

이 식은 일종의 연립방정식으로 아래와 같이 행렬을 이용해 표현할 수도 있다.

\[\begin{bmatrix}x_1 & x_2\\ x_1′ & x_2’\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u’ \\ v’\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 \\ r(t)\end{bmatrix}\]

따라서, 우리가 구하게 되는 해는 $u’$와 $v’$에 관한 것이다.

이 연립방정식을 구할 수 있는 해법 중 하나는 크래머 법칙(Cramer’s rule)이다.

크래머 법칙을 이용하면 아래와 같이 해를 구할 수 있다.

\[u’=\frac {\text{det}\left(\begin{bmatrix}0 & x_2 \\ r(t) & x_2’\end{bmatrix}\right)} {\text{det}\left(\begin{bmatrix}x_1 & x_2 \\ x_1′ & x_2’\end{bmatrix}\right)}\] \[v’=\frac {\text{det}\left(\begin{bmatrix}x_1 & 0 \\ x_1′ & r(t) \end{bmatrix}\right)} {\text{det}\left(\begin{bmatrix}x_1 & x_2 \\ x_1′ & x_2’\end{bmatrix}\right)}\]

여기서 분모의 $\text{det}\left(\begin{bmatrix}x_1 & x_2 \ x_1’ & x_2’\end{bmatrix}\right)$를 $x_1$과 $x_2$의 론스키안(Wronskian)이라고 부르는데 우리는 $W(x_1, x_2)$라고 적자.

그리고 각 분자에 있는 행렬식은 $2\times 2$ 행렬의 행렬식을 직접 계산할 수 있으므로,

\[u’=\frac{-x_2r(t)}{W(x_1,x_2)}\] \[v’=\frac{x_1r(t)}{W(x_1,x_2)}\]

임을 알 수 있다. 따라서,

\[u(t)=\int \frac{-x_2r(t)}{W(x_1,x_2)} dt\] \[v(t)=\int \frac{x_1r(t)}{W(x_1,x_2)} dt\]

과 같이 $u(t)$와 $v(t)$를 계산할 수 있게 된다.

따라서, particular solution은

\[x_p(t) = -x_1\int\frac{x_2r(t)}{W(x_1,x_2)}dt+x_2\int\frac{x_1r(t)}{W(x_1,x_2)}dt\]

가 됨을 알 수 있다.

예제문제

문제 1.

아래의 미분방정식의 해를 구하시오.

Solution

\[2x”+18x=6\tan(3t)\]

매개변수 변환법을 이용해 문제를 풀 때 빠질 수 있는 함정 중 하나는 최고 차항의 계수가 1이 아닌 경우에 이것을 1로 만들어줘야 한다는 점이다.

그러기 위해 양변을 $2$로 나눠주자.

\[\Rightarrow x”+9x=3\tan(3t)\]

2계 선형미분방정식의 해법(2) 편에서 확인한 바와 같이 대입법을 이용해 위 방정식의 제차꼴 해를 풀어주면,

\[x_h(t) = c_1\cos(3t)+c_2\sin(3t)\]

임을 알 수 있다.

따라서 $x_1(t) = \cos(3t)$ 이고, $x_2(t)=\sin(3t)$이다.

식 (21)의 해법을 이용해 비제차 해(particular solution)을 구해보자.

그러기 위해 $x_1$과 $x_2$와 Wronskian을 먼저 계산하도록 하자.

\[W(x_1, x_2) = \text{det}\left(\begin{bmatrix}x_1 & x_2 \\ x_1’& x_2’\end{bmatrix}\right)=\text{det}\left(\begin{bmatrix}\cos(3t) & \sin(3t) \\ -3\sin(3t) & 3\cos(3t)\end{bmatrix}\right)\] \[=3\cos^2(3t)+3\sin^2(3t) = 3\]

따라서, particular solution은

\[x_p(t) = -\cos(3t)\int \frac{3\sin(3t)\tan(3t)}{3}dt+\sin(3t)\int \frac{3\cos(3t)\tan(3t)}{3}dt\]

여기서 $\tan(t)=\frac{\sin(t)}{\cos(t)}$ 라는 사실을 이용하자.

\[\Rightarrow-\cos(3t)\int\frac{\sin^2(3t)}{\cos(3t)}dt+\sin(3t)\int\sin(3t)dt\] \[=-\cos(3t)\int\frac{1-\cos^2(3t)}{\cos(3t)}dt+\sin(3t)\left(-\frac{1}{3}\cos(3t)\right)\] \[=-\cos(3t)\int\sec(3t)-\cos(3t)dt+\sin(3t)\left(-\frac{1}{3}\cos(3t)\right)\] \[=-\cos(3t)\left(\int\sec(3t)dt-\int\cos(3t)dt\right)+\sin(3t)\left(-\frac{1}{3}\cos(3t)\right)\]

$\sec(t)$의 적분이 아래와 같다는 사실을 이용하자.

\[\int\sec(t)dt = \ln|\sec(t)+\tan(t)|+C\] \[\Rightarrow-\cos(3t)\left(\frac{1}{3}\ln|\sec(3t)+\tan(3t)|\right)+\cos(3t)\left(\frac{1}{3}\sin(3t)\right)+\sin(3t)\left(-\frac{1}{3}\cos(3t)\right)\]

여기서 뒤의 두 개 항은 부호만 반대이고 값은 같은 것이므로,

\[\Rightarrow-\cos(3t)\left(\frac{1}{3}\ln|\sec(3t)+\tan(3t)|\right)\] \[=-\frac{\cos(3t)}{3}\ln|\sec(3t)+\tan(3t)|\]

와 같이 particular solution을 구할 수 있다.

따라서 일반해는

\[x(t) = c_1\cos(3t)+c_2\sin(3t)-\frac{\cos(3t)}{3}\ln|\sec(3t)+\tan(3t)|\]

이다.

위키백과, 우리 모두의 백과사전

매개변수변환법(媒介變數變換法, 영어: variation of parameters)은 비제차 상미분 방정식을 푸는 방법이다.

정의 [ 편집 ]

비제차 선형 상미분 방정식은 다음과 같이 표현될 수 있다.

y ( n ) + a n − 1 y ( n − 1 ) + ⋯ + a 1 y ′ + a 0 y = r ( x ) {\displaystyle y^{\left(n\right)}+a_{n-1}y^{\left(n-1\right)}+\cdots +a_{1}y’+a_{0}y=r\left(x\right)}

위의 식은

y ( x ) = y h ( x ) + y p ( x ) {\displaystyle y\left(x\right)=y_{h}\left(x\right)+y_{p}\left(x\right)}

와 같은 일반해를 갖게 되는데, 매개변수변환법은 y p ( x ) {\displaystyle y_{p}\left(x\right)} 를 구하는 방법이다.

y p ( x ) {\displaystyle y_{p}\left(x\right)} 가 특정 형태를 가질 경우에는 미정계수법으로도 구할 수 있으나 r ( x ) {\displaystyle r\left(x\right)} 가 미정계수법 표에 소개된 것과 비슷한 형태를 가질때만 사용할 수 있는 단점이 있다. 이에 비해 매개변수변환법은 더 일반적으로 적용할 수 있는 장점이 있다.

고계 미분 방정식 [ 편집 ]

n {\displaystyle n} 이 2보다 큰 고계일 때, y p ( x ) {\displaystyle y_{p}\left(x\right)} 를 구하는 방법은 다음과 같다.

y p ( x ) = ∑ k = 1 n y k ( x ) ∫ W k ( x ) W ( x ) r ( x ) d x = y 1 ( x ) ∫ W 1 W ( x ) r ( x ) d x + ⋯ + y n ( x ) ∫ W n ( x ) W ( x ) r ( x ) d x {\displaystyle {\begin{aligned}&y_{p}\left(x\right)=\sum \limits _{k=1}^{n}{y_{k}\left(x\right)\int _{}^{}{{\frac {W_{k}\left(x\right)}{W\left(x\right)}}r\left(x\right)dx}}\\&=y_{1}\left(x\right)\int _{}^{}{{\frac {W_{1}}{W\left(x\right)}}r\left(x\right)dx+\cdots +y_{n}\left(x\right)\int _{}^{}{{\frac {W_{n}\left(x\right)}{W\left(x\right)}}r\left(x\right)dx}}\end{aligned}}}

W {\displaystyle W} 는 이 함수들의 론스키 행렬식이고, W j ( j = 1 , ⋯ , n ) {\displaystyle W_{j}\left(j=1,\cdots ,n\right)} 는 W {\displaystyle W} 의 j번째 열을 열벡터 [ 0 0 ⋯ 0 1 ] T {\displaystyle \left[{\begin{matrix}0&0&\cdots &0&1\\\end{matrix}}\right]^{T}} 로 치환하여 얻어진다.

2계 미분 방정식 [ 편집 ]

n {\displaystyle n} 이 2일 때, y p ( x ) {\displaystyle y_{p}\left(x\right)} 를 구하는 방법은 다음과 같다.

y p ( x ) = − y 1 ∫ y 2 r W d x + y 2 ∫ y 1 r W d x {\displaystyle y_{p}\left(x\right)=-y_{1}\int _{}^{}{{\frac {y_{2}r}{W}}dx+y_{2}\int _{}^{}{{\frac {y_{1}r}{W}}dx}}}

여기서 y 1 , y 2 {\displaystyle y_{1},y_{2}} 는 대응하는 제차 상미분 방정식의 해이고, W {\displaystyle W} 는 y 1 , y 2 {\displaystyle y_{1},y_{2}} 의 론스키 행렬식이다.

W = y 1 y 2 ′ − y 2 y 1 ′ {\displaystyle W=y_{1}y_{2}’-y_{2}y_{1}’}

[미분방정식] 15. 매개변수 변환법 – Solution by Variation of Parameters

이전 장에서 미정계수법(Method of Undetermined Coefficients)을 이용해서 비제차 미분방정식(Nonhomogeneous)

$$y” +p(x)y’ + q(x)y = r(x)$$

의 particular solution을 구했습니다.

그러나 이 방법은 사용할 수 있는 $r(x)$가 매우 제한적이었습니다.

비제차 미분방정식을 풀이하는 좀 더 보편적인 방법이 매개변수 변환법(Solution by Variation of Parameters)입니다.

매개변수 변환법

매개변수 변환법에 의하면 비제차 미분방정식(Nonhomogeneous)

$$y” +p(x)y’ + q(x)y = r(x)$$

의 particular solution은 다음과 같습니다.

$$y_p(x) = -y_1\int{\frac{y_2r}{W}dx} + y_2\int{\frac{y_1r}{W}dx}$$

$y_1, y_2$는 homogeneous ODE

$$y” + p(x)y’ + q(x)y = 0$$

의 두 basis이며,

$W$는 $y_1 과 y_2$의 Wronskian입니다.

$$W = y_1y_2′ – y_2y_1’$$

증명.

Homogeneous ODE

$$y” + p(x)y’ + q(x)y = 0$$

의 general solution이

$$y_h = c_1y_1(x) + c_2y_2(x)$$

인 것에서 유추하여

Nonhomogeneous ODE

$$y” +p(x)y’ + q(x)y = r(x)$$

의 particular solution을

$$y_p = u(x)y_1(x) + v(x)y_2(x)$$

로 유추합니다.

$y_1과 y_2$의 계수를 상수가 아닌 함수로 생각하는 것입니다.

그러면,

$$y_p’ = u’y_1 + uy_1′ + v’y_2 + vy_2’$$

여기서 한 가지 가정을 추가합니다.

가정 1. $\quad u’y_1 + v’y_2 = 0 \quad \cdots ~(*)$

그러면,

$$y_p’ = uy_1′ + vy_2’$$

으로 $y_p’$이 한결 간단해집니다.

한번 더 미분하여 $y_p”$를 구합니다.

$$y_p” = u’y_1′ + uy_1” + v’y_2′ + vy_2”$$

이 결과를 미분방정식에 대입하면,

$$(u’y_1′ + uy_1” + v’y_2′ + vy_2”) + p(uy_1′ + vy_2′) + q(uy_1 + vy_2) = r$$

$$\Rightarrow \quad u(y_1” + py_1′ + qy_1) + v(y_2” + py_2′ + qy_2 ) +u’y_1′ + v’y_2′ = r$$

여기서 $y_1과 y_2$는 homogeneous ODE의 두 basis이므로

$$y” + py’ + qy = 0 $$

을 만족합니다.

$$\therefore \quad u’y_1′ + v’y_2′ = r\quad \cdots ~(**)$$

(*)과 (**)을 연립하면,

$$u'(y_1y_2′ – y_2y_1′) = -y_2r\quad and \quad v'(y_1y_2′ – y_2y_1′) = y_2r$$

$$\Rightarrow \quad u’W = -y_2r \quad and \quad v’W = y_1r$$

$$W = Wronskian(y_1, y_2) = y_1y_2′-y_2y_1’$$

$$\therefore \quad u’ = -\frac{y_2r}{W}\quad and \quad v’ = \frac{y_1r}{W}$$

적분하면,

$$u = -\int{\frac{y_2r}{W}dx}, \quad v = \int{\frac{y_1r}{W}dx}$$

$$\therefore \quad y_p = uy_1 + vy_2 = -y_1\int{\frac{y_2r}{W}dx} + y_2\int{\frac{y_1r}{W}dx}$$

예제 1. 다음 미분방정식의 해를 구하시오.

$$y” + y = \sec{x}$$

Homogeneous ODE

$$y” + y = 0$$

의 Characteristic Equation을 구하면,

$$\lambda^2 + 1 = 0$$

$$\lambda = \pm i$$

$$\therefore \quad y_1 = \cos{x},\quad y_2 = \sin{x}$$

$$y_h = c_1\cos{x} + c_2\sin{x}$$

$$W(y_1, y_2) = \cos{x}\cdot\cos{x} – \sin{x}(-\sin{x}) = \cos{x}^2 + \sin{x}^2 = 1$$

매개변수 변환법을 이용하면,

$$y_p = -y_1\int{\frac{y_2r}{W}dx} + y_2\int{\frac{y_1r}{W}dx}$$

$$=-\cos{x}\int{\sin{x}(\sec{x})dx}+\sin{x}\int{\cos{x}(\sec{x})dx}$$

$$= -\cos{x}\int{\tan{x}dx} + \sin{x}\int{dx}$$

$$= -\cos{x}\ln{|\sec{x}|} + x\cdot \sin{x}$$

$$ = \cos{x}\ln{|\cos{x}|} + x\cdot\sin{x}$$

$$y = y_h + y_p = c_1\cos{x} + c_2\sin{x} + \cos{x}\ln{|\cos{x}|} + x\cdot\sin{x}$$

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